【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-函数的连续性

2022-08-15
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一、连续性的概念

定义1:若 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y = lim ⁡ Δ x → 0 [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 \lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0 Δx0limΔy=Δx0lim[f(x0+Δx)f(x0)]=0,则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_{0} x0处连续

定义2:若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}) xx0limf(x)=f(x0)则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_{0} x0处连续

定义3:若 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) xx0limf(x)=f(x0)则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_{0} x0处左连续
定义4:若 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}) xx0+limf(x)=f(x0)则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_{0} x0处右连续

定理: f ( x ) f(x) f(x)连续 ⇔ f ( x ) \Leftrightarrow f(x) f(x)左连续且右连续

定义4:区间上连续。开区间连续即区间内任意点都连续,闭区间连续即左闭左连续,右闭右连续。

例1:若 f ( x ) = { sin ⁡ 2 x + e 2 a x − 1 x , x ≠ 0 a , x = 0 f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x},x\ne0\\a,x=0\end{cases} f(x)={xsin2x+e2ax1,x=0a,x=0 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)处连续,则 a = a= a=()

因为题设 f ( x ) f(x) f(x) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)处连续,又 f ( 0 ) = a f(0)=a f(0)=a,则 lim ⁡ x → x 0 f ( 0 ) = a \lim\limits_{x\to x_{0}}f(0)=a xx0limf(0)=a,即在 x = 0 x=0 x=0处极限存在
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = lim ⁡ x → x 0 sin ⁡ 2 x + e 2 a x − 1 x = lim ⁡ x → x 0 sin ⁡ 2 x x + lim ⁡ x → x 0 e 2 a x − 1 x 显然 lim ⁡ x → x 0 sin ⁡ 2 x x 存在,整体极限存在,因此等式成立 = 2 + 2 a = f ( 0 ) = a \begin{align} \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)&=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}+\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{e^{2ax}-1}{x}\\ &显然\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}存在,整体极限存在,因此等式成立\\ &=2+2a=f(0)=a \end{align} xx0limf(x)=xx0limxsin2x+e2ax1=xx0limxsin2x+xx0limxe2ax1显然xx0limxsin2x存在,整体极限存在,因此等式成立=2+2a=f(0)=a
解得 a = − 2 a=-2 a=2

二、间断点及其分类

1. 间断点的定义

定义5:若 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_{0} x0某去心邻域有定义,但在 x 0 x_{0} x0处不连续,则称 x 0 x_{0} x0 f ( x ) f(x) f(x)的间断点

2. 间断点的分类

  1. 第一类间断点:左、右极限均存在的间断点
    可去间断点:左极限=右极限
    跳跃间断点:左极限 ≠ \ne =右极限
  2. 第二类间断点:左、右极限中至少有一个不存在
    无穷间断点
    震荡间断点

注:第一类间断点有且只有两种,第二类间断点有多种,如果题目中要求判断间断点类型,如果是第一类间断点需要说明是可去还是跳跃,如果是第二类间断点,不需要继续说明

例2:设函数 f ( x ) = ln ⁡ ∣ x ∣ ∣ x − 1 ∣ sin ⁡ x f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x f(x)=x1∣lnxsinx,分析 f ( x ) f(x) f(x)间断点的情况

分析间断点类型,如果该点两侧函数表达式不同,则分极限讨论,如果相同,则不需要

由于
lim ⁡ x → 0 f ( x ) = lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ∣ x ∣ ∣ x − 1 ∣ sin ⁡ x = lim ⁡ x → 0 x ln ⁡ ∣ x ∣ = lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ∣ x ∣ 1 x = lim ⁡ x → 0 1 x − 1 x 2 = 0 \begin{align} \lim\limits_{x\to0}f(x)&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\\ &=\lim\limits_{x\to 0}x\ln|x|\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}\\ &=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0 \end{align} x0limf(x)=x0limx1∣lnxsinx=x0limxlnx=x0limx1lnx=x0limx21x1=0
x = 0 x=0 x=0为可去间断点
由于
lim ⁡ x → 1 f ( x ) = sin ⁡ 1 ⋅ lim ⁡ x → 1 ln ⁡ x ∣ x − 1 ∣ 这里可以分左右极限讨论 = sin ⁡ 1 ⋅ lim ⁡ x → 1 ln ⁡ [ 1 + ( x − 1 ) ] ∣ x − 1 ∣ = sin ⁡ 1 ⋅ lim ⁡ x → 1 x − 1 ∣ x − 1 ∣ = { sin ⁡ 1 , x → 1 + − sin ⁡ 1 , x → 1 − \begin{align} \lim\limits_{x\to1}f(x)&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}\quad这里可以分左右极限讨论\\ &=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{|x-1|}\\ &=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{|x-1|}=\begin{cases} \sin 1,x\to1^{+} \\ -\sin1,x\to1^{-} \end{cases} \end{align} x1limf(x)=sin1x1limx1∣lnx这里可以分左右极限讨论=sin1x1limx1∣ln[1+(x1)]=sin1x1limx1∣x1={sin1,x1+sin1,x1
x = 1 x=1 x=1为跳跃间断点

( ln ⁡ x ) ′ = 1 x , ( ln ⁡ ∣ x ∣ ) ′ = 1 x (\ln x)'=\frac{1}{x},(\ln|x|)'=\frac{1}{x} (lnx)=x1,(lnx)=x1

三、连续性的运算与性质

定理1:连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数

定理2:连续函数的复合认为连续函数

定理3:基本初等函数在其定义域内是连续的

定理4:初等函数在其定义区间内是连续的。为了避免有单个点 f ( x ) = cos ⁡ x − 1 f(x)=\sqrt{\cos x-1} f(x)=cosx1

四、闭区间上连续函数的性质

定理5(有界性定理):若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界

定理6(最值定理):若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上必有最大值和最小值

定理7(介值定理):若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)\ne f(b) f(a)=f(b),则对 f ( a ) f(a) f(a) f ( b ) f(b) f(b)之间任一数 C C C,至少存在一个 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ(a,b),使得 f ( ξ ) = C f(\xi)=C f(ξ)=C

推论:若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上可取到介于它在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上最小值与最大值之间的一切值

定理8(零点定理):若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)\cdot f(b)<0 f(a)f(b)<0,则必 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in (a,b) ξ(a,b),使得 f ( ξ ) = 0 f(\xi)=0 f(ξ)=0

常考题型与典型例题

  1. 讨论函数的连续性及间断点的类型
  2. 有关闭区间上连续函数性质的证明题

例3:讨论 f ( x ) = x 1 − e x 1 − x f(x)= \frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}} f(x)=1e1xxx的连续性并指出间断点类型

由于 f ( x ) f(x) f(x)使初等函数,则除 x = 0 , x = 1 x=0,x=1 x=0,x=1外,处处连续
x = 0 x=0 x=0
lim ⁡ x → 0 x 1 − e x 1 − x = lim ⁡ x → 0 x − x 1 − x = − 1 \lim\limits_{x\to0}\frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}}=-1 x0lim1e1xxx=x0lim1xxx=1
为可去间断点
x = 1 x=1 x=1
lim ⁡ x → 1 + f ( x ) = 1 , lim ⁡ x → 1 − = 0 \lim\limits_{x\to1^{+}}f(x)=1,\lim\limits_{x\to1^{-}}=0 x1+limf(x)=1,x1lim=0
为跳跃间断点

例4:函数 f ( x ) = ( x 2 + x ) ( ln ⁡ ∣ x ∣ ) sin ⁡ 1 x x 2 − 1 f(x)=\frac{(x^{2}+x)(\ln|x|)\sin \frac{1}{x}}{x^{2}-1} f(x)=x21(x2+x)(lnx)sinx1的可去间断点的个数为()

f ( x ) f(x) f(x)有三个间断点 x = 0 , x = ± 1 x=0,x=\pm1 x=0,x=±1
x = 0 x=0 x=0
lim ⁡ x → 0 f ( x ) = − lim ⁡ x → 0 x ln ⁡ ∣ x ∣ sin ⁡ 1 x \lim\limits_{x\to0}f(x)=-\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|\sin \frac{1}{x} x0limf(x)=x0limxlnxsinx1
其中(由于 sin ⁡ 1 x ∈ [ − 1 , 1 ] , x → 0 , ln ⁡ ∣ x ∣ → ∞ \sin \frac{1}{x}\in[-1,1],x\to0,\ln|x|\to \infty sinx1[1,1],x0,lnx,所以考虑把 0 ⋅ ∞ 0\cdot \infty 0拿出来算,看结果是确定值还是无穷)
lim ⁡ x → 0 x ln ⁡ ∣ x ∣ = lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ∣ x ∣ 1 x = lim ⁡ x → 0 1 x − 1 x 2 = 0 \lim\limits_{x\to0}x\ln|x|=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0 x0limxlnx=x0limx1lnx=x0limx21x1=0

lim ⁡ x → 0 f ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to0}f(x)=0 x0limf(x)=0
x = 0 x=0 x=0为可去间断点
x = − 1 x=-1 x=1
lim ⁡ x → − 1 f ( x ) = lim ⁡ x → − 1 x ln ⁡ ∣ x ∣ sin ⁡ 1 x x − 1 = 0 \lim\limits_{x\to-1}f(x)=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}=0 x1limf(x)=x1limx1xlnxsinx1=0
x = 1 x=1 x=1为可去间断点
x = 1 x=1 x=1
lim ⁡ x → 1 f ( x ) = lim ⁡ x → − 1 x ln ⁡ ∣ x ∣ sin ⁡ 1 x x − 1 = sin ⁡ 1 lim ⁡ x → 1 ln ⁡ x x − 1 = sin ⁡ 1 lim ⁡ x → 1 ln ⁡ [ 1 + ( x − 1 ) ] x − 1 = sin ⁡ 1 \begin{align} \lim\limits_{x\to1}f(x)&=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}\\ &=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\\ &=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{x-1}\\ &=\sin1 \end{align} x1limf(x)=x1limx1xlnxsinx1=sin1x1limx1lnx=sin1x1limx1ln[1+(x1)]=sin1

例5:设函数 f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ 1 + x 1 + x 2 n f(x)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} f(x)=nlim1+x2n1+x,讨论函数的间断点

观察到有 lim ⁡ n → ∞ x n \lim\limits_{n\to \infty}x^{n} nlimxn的形式,考虑 lim ⁡ n → ∞ x n = { 0 , ∣ x ∣ < 1 ∞ , ∣ x ∣ > 1 1 , x = 1 不存在 , x = − 1 \lim\limits_{n\to \infty}x^{n}=\begin{cases}0,|x|<1\\ \infty,|x|>1\\1,x=1\\不存在,x=-1\end{cases} nlimxn= 0,x<1,x>11,x=1不存在,x=1

f ( x ) = { 1 + x , ∣ x ∣ < 1 0 , ∣ x ∣ > 1 1 , x = 1 0 , x = − 1 f(x)=\begin{cases} 1+x,|x|<1 \\ 0,|x|>1 \\ 1,x=1 \\ 0,x=-1 \end{cases} f(x)= 1+x,x<10,x>11,x=10,x=1
因此存在间断点 x = 1 x=1 x=1

例6:设 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续, a < c < d < b a<c<d<b a<c<d<b。试证对任意的正数 p , q p,q p,q,至少存在一个 ξ ∈ [ c , d ] \xi\in[c,d] ξ[c,d]使
p f ( c ) + q f ( d ) = ( p + q ) f ( ξ ) pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi) pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)

移项可得 f ( ξ ) = p f ( c ) + q f ( d ) p + q f(\xi)=\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q} f(ξ)=p+qpf(c)+qf(d),本题即证 p f ( c ) + q f ( d ) p + q \frac{pf(c)+qf(d)}{p+q} p+qpf(c)+qf(d)在区间 [ c , d ] [c,d] [c,d]上的最大值和最小值之间
由于 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则存在 [ c , d ] [c,d] [c,d]上最大值 M M M,最小值 m m m,有
m = p m + q m p + q ≤ p f ( c ) + q f ( d ) p + q ≤ p M + q M p + q = M m=\frac{pm+qm}{p+q}\leq\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\leq\frac{pM+qM}{p+q}=M m=p+qpm+qmp+qpf(c)+qf(d)p+qpM+qM=M
因此存在一个 ξ ∈ [ c , d ] \xi\in[c,d] ξ[c,d]满足条件

活动地址:CSDN21天学习挑战赛

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